今天分享 Stein 實分析書上的一道習題．
題目來源： Stein-Shakarchi, Real Analysis, Exercise 4 of Chapter 7
設 f:[0,1]\to [0,1]^2 是滿射，且滿足
|f(x)-f(y)| \le C|x-y|^{\gamma}. \\
證明：\gamma\le\dfrac{1}{2}．
【方法一】 考慮將 [0,1] 分成 n 平等：I_k=[\dfrac{k-1}{n},\dfrac{k}{n}]，k=1,2,\cdots,n．則對任意 x\in I_k，
\left|f(x)-f\Big(\dfrac{k}{n}\Big)\right|\le C\left|x-\frac{k}{n}\right|^{\gamma}\le C n^{-\gamma}. \\
即 f(I_k) 可以被圓心為 P_k:=f\Big(\dfrac{k}{n}\Big)、半徑為 r=Cn^{-\gamma} 的圓盤 B_r(P_k) 覆蓋．
而
f([0,1])=\bigcup\limits_{k=1}^nf(I_k)\subset \bigcup\limits_{k=1}^n B_r(P_k), \\
但是，\displaystyle\bigcup_{k=1}^nB_r(P_k) 的面積滿足
\begin{aligned} &\quad\,\,\mathrm{Area}\left(\bigcup_{k=1}^nB_r(P_k)\right) \\ &\le \sum\limits_{k=1}^n\mathrm{Area}(B_r(P_k)) \\ &=n \pi r^ 2 =\pi C^2n^{1-2\gamma}. \end{aligned} \\
若 \gamma > \dfrac{1}{2}，則可取 n 充分大，使得 \pi C^2n^{1-2\gamma} < 1，此時 f([0,1]) 被一個面積嚴格小於 1 的區域覆蓋，故 f 不是滿射，與條件矛盾．
故必有 \gamma\le\dfrac{1}{2}．
【方法二】 用抽屜原理．
因為 f 是滿射，則存在 (n+1)^2 個點 x_{i,j}(i,j=0,1,\cdots,n) 使得
f(x_{i,j})=(\dfrac{i}{n},\dfrac{j}{n}), \quad i,j=0,1,\cdots,n. \\
再將 [0,1] 分成 n^2 平等 [0,1]=\bigcup\limits_{k=1}^{n^2}J_k，其中 J_k=[\dfrac{k-1}{n^2},\dfrac{k}{n^2}]．
根據抽屜原理，在 \{x_{i,j}|i,j=0,1,\cdots,n\} 中有 (n+1)^2 個數，而 \{J_k|k=1,\cdots,n^2\} 有 n^2 個“抽屜”，故必有兩個數位於同一個區間 J_k 中，記為 x_{i_1,j_1} 與 x_{i_2,j_2}．於是 x_{i_1,j_1},x_{i_2,j_2}\in J_k，故有
|x_{i_1,j_1}-x_{i_2,j_2}| \le \dfrac{1}{n^2}. \\
從而，
|f(x_{i_1,j_1})-f(x_{i_2,j_2})|\le C|x_{i_1,j_1}-x_{i_2,j_2}|^{\gamma}\le \dfrac{C}{n^{2\gamma}}. \\
但是另一方面，根據 \{x_{i,j}\} 的構造方式，\{f(x_{i,j})\} 均位於格點上，故必有
|f(x_{i_1,j_1})-f(x_{i_2,j_2})|\ge \dfrac{1}{n}, \\
所以 \dfrac{1}{n} \le \dfrac{C}{n^{2\gamma}}，即
n^{2\gamma-1}\le C. \\
若 \gamma > \dfrac{1}{2}，則當 n\to\infty 時，上式的左邊 \to\infty，右邊是有限數，產生矛盾．
故必有 \gamma\le\dfrac{1}{2}．
（1）上面的證明過程是非常初等的．本題往深來說可涉及到 “Hausdorff 維數”，具體可參見分形幾何相關的書籍．
（2）回憶數學分析 A 中的練習題：設 f 是定義在 (-\infty,+\infty) 上的函數，滿足 \forall x,y\in\mathbb{R}，
\vert f(x)-f(y)\vert \le\vert x-y\vert^{\gamma}. \\
其中實數 \gamma>1．則對任意的 x,y\in\mathbb{R} 以及任意的正整數 n，都有
\vert f(x)-f(y)\vert \le \dfrac{1}{n^{\gamma-1}}\vert x-y\vert^{\gamma}. \\
進而推匯出 f(x) 必為常值函數．
（3）可以構造一條參數曲線 f:[0,1]\to[0,1]^2, t\mapsto f(t) 滿足 f 是滿射且
|f(t)-f(s)| \le C|t-s|^{1/2}, \\
這樣的曲線叫做 Peano 曲線．具體可參見 Stein 書上的 7.3 節．