題主提到的 Conway 常數應該是最著名的一個例子，指外觀數列相鄰項的長度比值的極限，不過 Conway 能發現 71 次方程確實過於生草……
作為補充，我介紹兩個有趣且直觀的例子[1]。
考慮餘弦函數級數：
C(\theta , a ,n) = \frac{1}{1+a} + \sum_{k=1}^n \frac{\cos k\theta}{k+a}，\\其中 0\leq\theta\leq \pi ， n 是一個正整數，請問 a 在什麼範圍內滿足 C(\theta,a,n) \geq 0 ？
Rogosinski 和 Szegö 證明瞭存在一個最優上界 A [2]，使得 -1 時， C(n,a,\theta) \geq 0 恆成立。而 Gasper 給出了 A 的具體結果[3]， A = 4.5678018826 \dots ，它是一個代數數，極小多項式是一個 7 次的：
9x^7 + 55x^6 - 14x^5 - 948 x^4 -3247x^3 -5013 x^2 -3780 x- 1134.\\一個類似的問題是正弦函數級數：
S(\theta,b,n) = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\sin k\theta}{k+b},\\其中 0<\theta<\pi ， n 是一個正整數，請問 b 在什麼範圍內滿足 S(\theta,b,n)>0 ？
Brown 和 Wang 證明瞭存在一個最優上界 B [4]，使得 -1 ，且對於任意奇數 n ，都有 S(\theta,b,n)>0 ，對於偶數 n 情況比較複雜我們這裡不做討論，其中 B =2.1102339661\dots ，它是以下方程的解：
(1+\lambda)\pi\left[(B-1) \psi\left(1+ \dfrac{B-1}{2}\right) - 2B \psi \left( 1+ \dfrac{B}{2} \right) + (B+1)\psi \left( 1+ \dfrac{B+1}{2} \right) \right] = 2\sin(\lambda \pi).\\其中 \psi(x) 是 digamma 函數，而 \lambda = 0.4302966531\dots 是方程 (1+\lambda )\pi = \tan(\lambda \pi) 的解。
但是 B 是代數數嗎？這至今都未能確定。
假設我們有 N 個半徑為 r(N) 的小圓，現在我們想要讓它完全覆蓋住一個半徑為 R=1 的單位圓，請問：小圓半徑的最小值是多少？
首先從直覺上來說，覆蓋單位圓意味著它的所有邊界也要被小圓覆蓋。因此單位圓里圓心角 2\pi/N 的圓弧需要半徑至少為 \sin(\pi/N) 的小圓來覆蓋，這樣我們就輕鬆找到了 r(N) 的一個下界，即 r(N)\geq \sin(\pi /N) ，如果你畫畫圖就能發現我們已經解決了 N=1,2,3,4 的情況：
注意，我們沒有從數學上嚴格證明上述覆蓋方式的最優性
可能你以為對於其他 N 也能順理推出來 r(N) 的最小值，但事情遠遠沒有這麼簡單。這個問題實際上是一個相當複雜的離散組合優化問題，目前沒有通解，對於 N 較大的情況一般是通過計算機搜尋來找到 r(N) 可能的下界。
N=5 就是第一個非平凡的例子，對應的 r(5) = 0.6093828640\dots
解析地來看， r(5) = \cos(\theta + \varphi/2) ，其中 \theta,\varphi 是下列四個複雜的非線性方程的解：
\begin{cases}2\sin \theta - \sin(\theta + \frac{1}{2}\varphi + \psi) - \sin(\psi -\theta - \frac{1}{2} \varphi) =0, \\[.2cm] 2\sin\varphi - \sin(\theta + \frac{1}{2} \varphi + \chi) - \sin(\chi - \theta - \frac{1}{2} \varphi) = 0,\\[.2cm] 2\sin \theta + \sin(\chi + \theta) - \sin(\chi - \theta) - \sin(\psi +\varphi ) - \sin(\psi - \varphi)\\[.2cm] \qquad\qquad - 2\sin(\psi - 2\theta) =0,\\[.2cm] \cos(2\psi - \chi +\varphi) - \cos(2\psi +\chi-\varphi) - 2\cos \chi + \cos(2\psi + \chi -2\theta) \\[.2cm]\qquad \qquad+\cos(2\psi - \chi -2\theta)=0.\end{cases} \\不過發現它的 r(5) 的作者 Neville 就意識到它應該是個代數數但沒能給出證明[5]。Bezdek 提供了另一種不同的表述[6]， 1/r(5) 是以下多項式的最大實根：
a(y) x^6 -b(y) x^5 + c(y) x^4 - d(y)x^3 +e(y)x^2 - f(y)x +g(y),\\在所有 y 中取最大值，前提是滿足約束條件 \sqrt{2} < x<2y+1, -1<>，其中：
\begin{align} \begin{cases} a(y) = 80y^2 +64 y,\\[.2cm] b(y) = 416y^3 +384y^2 +64y,\\[.2cm] c(y) = 848y^4 + 928y^3 + 352 y^2 +32 y,\\[.2cm] d(y) = 768y^5 + 992y^4 + 736y^3 + 288y^2 + 96 y,\\[.2cm] e(y) = 256y^6 + 384y^5 + 592 y^4 + 480y^3 + 336y^2 + 96y + 16,\\[.2cm] f(y) = 128y^5 + 192y^4 + 256y^3 + 160y^2 + 96y+32,\\[.2cm] g(y) = 64y^2 + 64y +16. \end{cases} \end{align}\\
那麼 r(5) 的代數性就比較顯然了，而 Melissen 和 Zimmermann 直接給出了 r(5) 的極小多項式[7][8]：
1296x^8 + 2112 x^7 - 3480 x^6 + 1360x^5 + 1665 x^4 - 1776 x^3 + 22x^2 -800 x + 625.\\對於 N=6 的情況也並不容易， r(6) = 0.5559052114\dots ，它的極小多項式是達到 18 次：
\begin{gather} 7841367 x^{18} - 3344997 x^{16} + 62607492 x^{14} - 63156942 x^{12} + 41451480x^{10}\\[.2cm] -19376280x^8 + 5156603x^6 -746832x^4 + 54016x^2 + 3072. \end{gather}\\對於 N>10 的情況仍是一個 open problem，目前大多是依賴於計算機類比來給出一個可能下界的數值結果。
和圓相關的還有兩個著名的問題。
第一個是 Mrs. Miniver 問題：
兩個大小相同的單位圓部分重疊，當重疊部分的面積（見下圖白色部分）和其餘部分的面積（見下圖陰影部分）相同時，兩個圓之間的圓心距 2u 是多少？
實際計算並不複雜， u = 0.2649320846\dots ，它滿足 u\sqrt{1-u^2} + \arcsin u = \dfrac{\pi}{6} 。
但並不知道 u 是否是代數數。
第二個是山羊放牧問題：
如下圖所示，山羊 Q 被限制在半徑為 r 的區域移動，請問 r 為多少時，它能吃到單位圓草地（圓心為 P ）內一半的草？
結果是 r = 1.1587284730\dots ，它滿足 r\sqrt{4-r^2} - 2(r^2 -2 )\arccos\left (\dfrac{r}{2}\right) = \pi 。
但同樣也不能確定 r 是否是代數數。