伊辛模型，今年正好是它誕生的 100 周年。

雖然嚴格來說伊辛模型是一個物理模型，但問題畢竟打了「物理學」的 tag。

水的相變是我們最熟悉的物理現象之一：在標準大氣壓下，當溫度從零下升高到 0℃ 時，冰會熔化成水；當溫度繼續升高至 100℃ 時，水便汽化成水蒸氣。這些現象都是物理學里的相變（phase transition）過程，對於相變的研究一直是物理學領域的重要課題，例如磁性材料的铁磁-順磁相變、超導體在低溫下的超導轉變等。

相變理論的發展大概經歷了三個階段：平均場 -> 統計物理 -> 重整化群。而近十幾年來，超越朗道相變範式的量子相（例如拓撲序、對稱保護拓撲序等）也打開了凝聚態物理和高能物理領域研究的新視窗，對於這些新奇物態之間的相變研究也一直在進行中，例如 anyon condensation。

而伊辛模型（Ising model）就是一個用來研究相變問題最簡單但又極具代表性的模型。

1920 年，德國物理學家楞次（Lenz，你或許聽說過拉普拉斯-隆格-楞次向量）提出了一個模型，用以描述磁性材料的行為，讓他的學生伊辛研究，隨著溫度的變化，這一模型是否存在相變現象。伊辛模型描述了一組位於格點上的自旋，每個自旋取值為 +1 或 -1 ，它們之間通過最近鄰相互作用進行耦合，系統的哈密頓量是：

H = -J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j - h \sum_{i}s_i,\\其中 h 代表外加磁場。

伊辛在他一篇 1925 年的論文中得到了一維伊辛模型的嚴格解，結果表明在一維情況下不存在相變。因此，伊辛武斷地認為在二維情況下，這一模型也不會發生改變，並放棄了進一步研究。此後 10 餘年，伊辛模型幾乎無人問津。

1936 年派爾斯（Peierls）證明瞭二維伊辛模型確實有相變，伊辛的推測是錯誤的。1944 年，昂薩格（Onsager）嚴格求解了在沒有磁場的情況下方格子的二維伊辛模型。在有磁場的情況下二維伊辛模型沒有嚴格解存在，1949 年昂薩格首先猜到了自發磁化，1952 年楊振寧推導出了自發磁化的確切表達式，證實了昂薩格的猜測。接下來，很多人開始尋找三維伊辛模型的嚴格解，但至今都沒有成功，目前的工作大多是數值上的進展。

關於伊辛模型的嚴格求解，現在已經寫入了《量子統計物理》的教科書，感興趣的同學可以自己翻閱，這裡就不抄書了。

如果僅僅是一個模型被求解，這或許並不稀奇。但伊辛模型的影響早已超越了磁性系統，它的足跡可以說遍佈現代凝聚態物理和高能物理領域，例如：

1. 1 維的量子 Ising model 可以 map 到 2 維的經典 Ising model。
2. 2 維的 Ising model 有相變，它的臨界點理論和 minimal model \mathcal{M}(4,3) 等價，中心荷為 c=1/2 ^[1]。 \mathcal{M}(4,3) 只有三個 primary field，記為 \mathbb{I},\sigma,\psi ，它們的 fusion rule 是： \sigma \times \sigma = \mathbb{I} + \psi , \sigma\times \psi = \sigma , \psi\times \psi=\mathbb{I} ，而這其實就是 Ising anyon 所滿足的 fusion rules，由於 \sigma 是非阿貝爾任意子，可以用於拓撲量子計算，尤其是可以用於描述馬約拉納零模（在此點名批評某公司發佈的 Majorana 1 量子晶片）。
3. 2 維的外磁場中的 toric code 可以 map 3 維的 Ising model with plaquette interactions^[2]。
4. 2 維的 noisy toric code 可以 map 到經典的 random bond Ising model，通過分析統計力學模型的臨界點就可以確定糾錯碼的 error threshold^[3]。
5. 玻爾茲曼機、Hopfield 網路的全域能量 E = -\left(\displaystyle{\sum_{i 和 Ising model 相同，可以說神經網路（2024 年諾貝爾物理學獎）和統計力學有密切聯繫，這部分內容的解讀可以閱讀王磊、張潘老師的今年 1 月的科普文章^[4]。
6. 甚至 Ising model 在很多超出了物理學範疇的領域里也有所應用，例如金融數學、NP 優化問題等^[5]。
7. ……and so on