題主的觀察非常細緻，適度簡化模型，這個問題可以用中學知識解決，且計算結果確實是非常漂亮的雙曲線！

碗-筷子模型

碗可以近似成凹柱面鏡，筷子近似為方向指向鏡面外斜上方的直線：

筷子落在 y=常數 的平面內且z關於x線性增加，且題主視頻所示移動過程就是y的常數值從負半軸向正半軸變化的過程。俯視圖如下：

那麼我們想要得到的是沿著x軸看去，筷子的像在yz平面上的投影是雙曲線。

筷子任意點與其像點有相等的 z 值，故只需要計算每個 z=z_0 的水平截面上，筷子在該水準截面內的點 (x_0,y_0,z_0) 關於凹面鏡的像點的 y 值即可，得到一個像點y值關於z值的函數關係，我們期望這個函數圖像是雙曲線。

為了計算y值，我們需要回憶凹面鏡成像的基本知識。

凹面鏡的高斯成像方程

下圖是一個水準剖面圖，D是筷子上的點，F是凹面鏡的焦點。

• 粗橙線是從D發出的水平光線，按成像原理其反射光線（細橙）穿過焦點。
• 粗粉線是從D射向鏡面對稱中心的光線，按對稱性其反射光線（細粉）關於x軸與其完全對稱。
• 兩反射光線的交點就是像點。物距和像距的定義參看下圖。注意 d_0 就是上節定義的 x_0 。

這裡考慮的是物距大於焦距的情形。

• 先考慮 d_0 和 d_1 的數量關係。設焦距（線段 FE 的長度）為 f 。近似把凹面鏡看成平的，也就是H、E、J大致都在y軸，也都在凹面鏡上。
• 由光路可逆，反射光線JI的入射光線為DJ應當穿過焦點，因此D、F、J是共線的。
• 考慮如下相似形

可以得到著名的高斯鏡面方程：

\displaystyle\boxed{\frac{1}{d_0}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}}

也不難發現，像點的y值的絕對值 |y_i|=EJ 與物點的y值 y_0=EH 的比例正是像距與物距的比例。

而 d_0=x_0 是 z 的線性函數，可設為 Az+B ，整理有

\displaystyle 1-\frac{y_0}{y_i}=\frac{Az+B}{f}

不難發現 y_i 與 z 是雙曲關係。

當物距小於焦距時結論完全類似。參見下圖，讀者可以自行完成證明。

在上圖中我不得不將 y_0 減小以保證我們的近似（凹面鏡和y軸幾乎重合）不至於失效太多。由此也可看出，當 y_0 較大時我們的計算會產生較大的誤差，實際曲線因此會偏離雙曲線。

題主視頻中的過程即是 y_0 從負變正，根據上式確定的雙曲線的形狀也會因此發生變化。感興趣的讀者可以據此詳細探討視頻中形狀的動態變化，這裡限於篇幅就不再展開了。