這是一個很深刻的問題，但似乎許多國內的線性代數教材並不提太多關於 “將實線性空間視為復線性空間” 的問題. 這裏嘗試給一個清晰的說明，對線性代數部分不感興趣的同學可以直接跳到最後的結論.

\Bbb{R}^2 是一個實向量空間，當我們寫 (a,b)\in\Bbb{R}^2 時，我們其實是在寫 a\bm{e}_1+b\bm{e}_2 ，其中 \bm{e}_i 可以認為是標準正交基.

\Bbb{C} 是一個複向量空間，當我們寫 c=a+bi\in\Bbb{C} 的時候，我們其實是在寫 (a+bi)\bm{z} ，其中 \bm{z} 可以認為是複向量空間 \Bbb{C} 裡的基.

我們無法說一個實向量空間是否同構於一個複向量空間，因為比較兩個不同世界里的東西並不make sense. 但是一個實向量空間 V_\Bbb{R} 可以通過加某些結構，使其變成一個複向量空間 V_\Bbb{C} , 這樣它就可以與某些複向量空間比較. 那加什麼結構呢？

定義：我們說一個實向量空間 V_{\Bbb{R}} 是一個複向量空間，如果它上面帶有一個over \Bbb{C} 的數乘： \begin{aligned}\lambda: \Bbb{C}\otimes_\Bbb{R}V_{\Bbb{R}}&\longrightarrow V_{\Bbb{R}}\\c\otimes v&\mapsto c\cdot v \end{aligned}\\

當然，這等價於說 V_{\Bbb{R}} 上有一個實自同構 J\in GL(V_{\Bbb{R}}) , 使得 J^2=-1 , 這個 J 的作用相當於定義了 i\in\Bbb{C} 的數乘，這樣一來就有 (a+bi)\otimes v:=av+bJv\in V_{\Bbb{R}}\\ 我們把作為複向量空間的 (V_{\Bbb{R}},J) 記為 V_{\Bbb{C}} . 這個 J 一般稱為一個複結構. 兩個復向量空間之間的映射 A: (V_{\Bbb{R}},J)\longrightarrow W_{\Bbb{C}}\\ 稱為是複線性映射，如果 AJ=iA .

現在回到我們的例子， V_{\Bbb{R}}=\Bbb{R}^2 上有沒有復結構呢？有的，我們令 J\bm{e}_1=\bm{e}_2 , J\bm{e}_2=-\bm{e}_1 , 然後線性延拓到整個 \Bbb{R}^2 上就是一個復結構. 於是這時我們可以問：

Question A: 在上述選定的複結構下，復線性空間 (\Bbb{R}^2,J) 與 \Bbb{C} 有什麼關係？