希爾伯特旅館悖論源於伽利略。在《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》一書中，他經過初步觀察之後發現 ：平方數肯定比自然數的數量要少。但是我們可以把每個平方數和其自然數一一對應起來，因此這兩個集合所包含的元素應該是一樣多的。在有著上千年歷史的希臘哲學傳統的影響下，伽利略得出的結論是沒有人可以用無窮大的數位來解決數學問題，儘管他自己經常背離這個傳統。

接下來讓我們詳細講講希爾伯特旅館悖論吧！

有一個美麗的度假勝地，這裡的旅館有一個獨特之處 ：它有無數的房間，所有的房間都對應一個固定的數位。不巧的是，裡面所有的房間都住滿了，但是旅館從來沒有貼出過“房已住滿”的告示。事實上，如果有一位新客人入住，那麼旅館就會安排他到1號房間，把1號房間原來的客人安排到2號房間（“我們理解您的不便，但我們向您保證，新房間將比現在這間更好!”）。2號房間的客人將被轉到3號，3號到4號，直到n+1號房間，這樣每個人都有自己的房間。不用說，就算來的新客人有100萬個，這種方法也適用。到了康托爾杯決賽這天，無數球迷湧進來，這個時候事情就有點複雜了，經理沒辦法把新客人安排到“無限大”號的房間里，因為無限大不是一個數位。不過經理是個很會變通的人，他把1號房間的客人安排到2號房間，把2號房間的客人安排到4號房間，以此類推，把n 號房間的客人安排到2n 號房間，這樣就把所有的奇數號房間空出來，只有偶數號房間住了客人，那麼新來的球迷客人就能住到奇數號房間里。這樣一來，除了換房間的麻煩和清潔費用變多以外，就沒有其他煩人的事了。

還有其他的情況。希爾伯特旅館屬於一家連鎖酒店，這家連鎖酒店有無數個像希爾伯特旅館這樣有無數房間的旅館。為了節約成本，酒店決定關閉其他的有無數房間的旅館，把所有客人都安排到希爾伯特旅館。這個時候旅館經理要怎麼安排讓無數個客人住進無數個房間呢？

我們可以選擇最簡單的一種方法，將住在n 號房間的客人安排到2n 號房間里。然後給其他旅館單獨編一個編號（質數），那麼p 旅館n 號房間的客人在希爾伯特旅館的房間的編號就是p×2n 。由於因數分解定理的獨特性，不會產生兩個客人被安排到同一個房間的狀況。唯一可能產生的狀況是旅館還剩下很多空房間，酒店的管理人員會繼續抱怨資源浪費。

不過旅館經理很聰明，他設計了如圖1所示的換房間路徑。從希爾伯特旅館開始對所有旅館進行編號，希爾伯特旅館為1號旅館。每當需要安排房間時，則先按圖中的方向進行移動。第一次安排房間，1號旅館1號房間的客人保持不動，2號和3號房間的客人則分別被2號旅館1號房間的客人和1號旅館2號房間的客人所取代，2號旅館1號房間空出。第二次安排房間，4 ～ 6號房間的客人則分別被1號旅館3號房間的客人、2號旅館2號房間的客人和3號旅館1號房間的客人所取代，原來房間的客人則按方向進行移動 ；以此類推。客人也可以從圖中看出自己該住哪個房間。

但是可別以為能用這種方法接待所有類型的客人。如果來的客人是公司的代表，每個代表都有對應的公司表示，並且有獨一無二的位置做區分，那麼正如康托爾所言，這種情況下就沒辦法接待這些客人了。他們得去用實數進行編號的連鎖酒店而不是去用自然數編號的旅館，似乎……總之，這些區別是無窮無盡的。

最後，我再介紹一個更加令人不安的悖論。

在希爾伯特旅館里有很嚴格的禁煙規定，不僅旅館裡面不允許吸煙，外面來的人也不允許把煙帶進去。有一天晚上，1號房間的客人突然非常想吸煙，但是他沒有煙，於是他去找2號房間的客人。2號房間的客人也沒有煙，但是他也很想吸煙，所以去找3號房間的客人想要兩支香煙，一支給自己，一支給1號房間的客人，以此類推，那麼在n 號房間的客人可以從n+1號房間獲得n 支香煙，一支自己抽，另外的n-1支給前面房間的客人，如此一來大家都能抽到煙，這是怎麼做到的呢？