虛數看似不存在，卻解鎖數學新天地，簡化三角、微積分，還助力信號處理和圖像壓縮，是工程師的秘密武器。

對數學門外漢來說，接受“i”代表一個“虛構”的數位，著實讓人摸不著頭腦。畢竟，i 是負1的平方根，聽著就像天方夜譚。可如果你願意敞開心扉，就會發現一個全新的世界在你眼前展開。我是個研究分析的數學家，專攻複數。跟大家熟悉的實數——正負整數、分數、平方根、立方根，甚至π不一樣，複數里有個“虛”的部分，也就是實數加上那個神秘的 i。

想知道 i 有多怪嗎？平方根是指某個數的平方等於原數。正數乘自己是正數，負數乘自己也是正數，可 i 偏偏是個奇葩，乘自己居然得出負數。每次跟非數學迷聊到虛數，總有人跳出來說：“這些數真的存在嗎？”別覺得自己孤單，連數學大咖都曾對複數皺眉頭。比如，1545年 Girolamo Cardano 在《大術》一書中聊到複數時，嫌它們“微妙卻無用”。就連大神 Leonhard Euler 都算錯過，把 √(-2) × √(-3) 當成 √6，其實答案是 -√6。

還記得高中學的二次方程公式嗎？那是為瞭解未知數平方的方程設計的。公式里有個根號下的表達式 (b² - 4ac)，如果結果是負數，老師可能就含糊帶過，說“大學再學吧”。可要是你敢相信負數的平方根是存在的，就能解開一大堆新方程。不僅如此，一個神奇又實用的數學世界——複分析，就這麼向你招手。

相信複數有什麼回報呢？首先，三角學變得輕鬆多了。不用死記硬背一堆複雜公式，1740年歐拉甩出一個公式就全搞定。只要有點代數功底，玩轉它就能輕鬆算出三角形的邊長和角度，連課本上的標準公式都顯得多餘。微積分也簡單不少。Roger Cotes、René Descartes(就是他給“虛數”取的名)這些前輩發現，複數能讓看似無解的積分變得小菜一碟，還能算出複雜曲線下面的面積。

複數還不止於此。Jean-Robert Argand 和 Carl Friedrich Gauss 指出，用它還能玩轉幾何，搞定用尺規畫出的五邊形、八邊形等圖形。到了現實世界，複分析更是大放異彩。Rafael Bombelli 想出對複數做加減乘除，打開了用微積分處理它們的大門。這下，物理學家研究信號和數據傳輸就順手多了。比如，處理小波(數據里的小波動)全靠複分析。衛星信號雜音太多？它能清理乾淨。圖片佔記憶體太大？它幫你壓縮。

工程師也愛它。複雜的電學、流體力學問題，複分析能化繁為簡。比如研究奇形怪狀結構的電性或液體流動，靠它就能把難題拆解得明明白白。後來，像 Karl Weierstrass、Augustin-Louis Cauchy、Bernhard Riemann 這些大師習慣了複數，索性把復分析發揚光大，造出個既簡化數學、推動科學，還讓人更好懂的利器。

本文譯自 ScienceAlert，由 BALI 編輯發佈。