在西元前400多年，古希臘數學家、哲學家芝諾（Zeno）曾經提出過一個令人困惑的悖論，我們先來看看這個悖論的具體內容。

這個悖論的設定是：阿基裡斯（Achilles）是一個英勇的戰士，也是一個奔跑速度很快的人，其速度遠遠地超過了烏龜。有一天，阿基裡斯與一隻烏龜進行了賽跑，由於他的奔跑速度很快，因此烏龜要求阿基裡斯給它一些領先的優勢，也就是說，當烏龜跑出一段距離之後，阿基裡斯才開始追。

芝諾指出，當阿基裡斯開始追的時候，烏龜已經跑出了一段距離，我們可以將烏龜此時所在的落腳點稱為“起始點”，當阿基裡斯跑到“起始點”的時候，烏龜又向前跑出了一段距離，抵達了第二個落腳點，而當阿基裡斯跑到這個“第二個落腳點”的時候，烏龜又向前跑出了一段距離，抵達了第三個落腳點……

所以芝諾給出的觀點就是，在這個過程中，阿基裡斯每一次追到烏龜上一個落腳點的時候，烏龜當前所在的位置就總是會在這個落腳點的前面，在這樣的情況下，雖然阿基裡斯與烏龜的距離在不斷縮短，但他卻永遠都追不上這隻烏龜。

可以看到，芝諾從理論上推導出了一個與實際情況明顯相悖的結果，這確實有點令人困惑，因為你明明知道它是錯的，卻很難反駁。不過“很難反駁”並不代表“不能反駁”，比如說根據現在的量子理論，就可以對其進行反駁。

這個悖論有一個重要的前提，那就是時間和空間都可以無限分割，但在量子理論中，時間和空間並不是可以無限分割的，它們都有一個不可再分割的單位，即普朗克時間（約5.39 x 10^-44秒）和普朗克長度（約為1.6 x 10^-35米）。

據此我們就可以這樣反駁：當阿基裡斯與烏龜的距離縮小到了1個普朗克長度，或者阿基利斯跑完他與烏龜的距離所需要的時間縮短到了1個普朗克時間的時候，阿基利斯就可以在下一個普朗克時間追上烏龜。那麼，除了量子理論，還有沒有其他的方法進行反駁呢？答案是肯定的。

芝諾實際上是把阿基裡斯追上烏龜的過程分割成了無窮多個階段，每個階段都有一個確定的時間長度，為了方便討論，我們可以假設阿基裡斯的速度是11米/秒，烏龜的速度是1米/秒，當烏龜跑出10米的時候，阿基裡斯就開始追。

這其實就是一個非常簡單的追擊問題，通過計算可知，阿基裡斯只需要1秒鐘就可以追上烏龜。

然而芝諾的思路卻是這樣的：當阿基裡斯跑到“起始點”的時候，他用了10/11秒的時間，而此時烏龜已經跑到了“第二個落腳點”，距離“起始點”有10/11米，所以當阿基裡斯跑到“第二個落腳點”，他又會用去10/11^2秒的時間，而此時烏龜已經跑到了“第三個落腳點”，距離“第二個落腳點”有10/11^2米，所以當阿基裡斯跑到“第三個落腳點”，他又會用去10/11^3秒的時間，接下來所用的時間段以此類推，如10/11^4秒、10/11^5秒……

可以看到，儘管這些時間長度會越來越短，但它們的數值始終都會是一個正數。

根據我們的直覺，無窮多的正數之和，就應該是一個無限大的數位，而這也是芝諾提出的這個悖論的一個重要前提，如果這個前提成立，那麼阿基裡斯追上烏龜就需要無限長的時間，如此一來，阿基裡斯就永遠追不上烏龜。

但無窮多的正數之和，真的就必定是一個無限大的數位嗎？答案當然是否定的，實際上，如果你不斷地將前面我們計算出的時間長度加起來，你就會發現，無論怎麼加，你計算出的結果都是小於1的。

而這也就意味著，在阿基裡斯追上烏龜之前，無論他經歷了多少個階段，他所用的時間之和都是小於1秒，據此我們就可以得出，芝諾提出的觀點，其實等價於這樣一種說法，即：在小於1秒鐘的時間里，阿基利斯永遠都追不上烏龜。

顯而易見的是，這是一句“正確的廢話”，因為根據我們前面的計算，阿基裡斯本來就需要1秒鐘的時間才能追上烏龜，所以這樣的說法當然是正確的，並不是一個悖論。