普林斯頓大學的科學家們在量子材料方面取得了突破性的發現，揭示了某些系統中的電子能級遵循一種被稱為“霍夫施塔特蝴蝶（Hofstadter’s butterfly）”的分形模式。

這種現象在1976年首次被理論化，但直到現在還沒有在實際材料中直接觀察到。這一發現是莫爾圖案石墨烯超導性實驗的意外結果，在該實驗中，意外的錯位為可視化難以捉摸的分形能譜創造了完美的條件。

量子材料中的分形模式

普林斯頓大學的一組科學家成功地測量了一種新型量子材料中電子的能級，並發現它們遵循分形模式，這是一種重複的結構，在不同的尺度上看起來都一樣。分形在自然界中很常見，比如雪花、蕨類植物和海岸線。在量子世界中，一個類似的模式 —— 霍夫施塔特蝴蝶 —— 早在1976年就被理論化了。現在，研究人員第一次在真實的材料中直接觀察到這種模式。

材料工程的突破

材料工程的進步使這一突破成為可能。研究人員將兩層石墨烯（碳原子片以六角形排列）堆疊並扭曲，創造出一種重複的干涉圖案，稱為波紋圖案，類似於一些法國織物的分層紋理。

“這些莫爾晶體提供了一個理想的環境，當將其中移動的電子置於磁場中時，可以觀察霍夫施塔特光譜。這些材料已經被廣泛研究，但到目前為止，這些電子能譜的自相似性仍然遙不可及，”普林斯頓大學詹姆斯·s·麥克唐納傑出大學教授阿裡·亞茲達尼說，他的團隊已經應用他們強大的量子顯微鏡技術來研究這個問題。

霍夫施塔特的蝴蝶：量子分形

霍夫施塔特的蝴蝶代表了道格拉斯·霍夫施塔特1976年一篇開創性論文的主要發現。在這項工作中，他預測在強磁場的影響下，被限制在二維晶體內的電子能級將表現出分形能譜的特徵。之所以使用“蝴蝶”這個名字，是因為在能量和磁場的映照下，新出現的圖案顯示出一種優雅而複雜的結構，類似於蝴蝶的翅膀。

重要的是，這種蝴蝶圖案是分形的，這意味著它是一種自我重複的圖案，在不同的尺度上一次又一次地產生。雖然自然界中有很多分形的例子，比如海岸線和雪花，但在量子領域卻很少發現。

“霍夫施塔特的蝴蝶也是一個罕見的例子，在量子力學中完全解決了一個問題，沒有任何近似，”凱文·努科爾斯（Kevin Nuckolls）說，他是這篇論文的共同主要作者，該論文詳細介紹了該團隊的發現，發表在最近一期的《自然》雜誌上。

“自從霍夫施塔特的原創作品以來，已經有很多關於這個主題的實驗和精彩的論文，但在我們的工作之前，沒有人真正看到過這個美麗的能譜，”努科爾斯補充道。

一個意外的驚人發現

實際上，研究人員最初並沒有打算將這種複雜的現象形象化。

“我們的發現基本上是一個意外，”努科爾斯承認。“我們並沒有開始尋找這個。”

相反，研究人員正在進行一項實驗，研究扭曲雙層石墨烯的超導性，博士後研究員、論文的共同主要作者狄龍·王（Dillon Wong）說。2018年，麻省理工學院（MIT）的一個研究小組發現，限制在這些莫爾納米晶體中的電子具有超導性 —— 一種電子自由流動而沒有任何阻力的狀態。從那時起，亞茲達尼的團隊和世界各地的許多其他人一直在試圖瞭解這些材料的超導性本質。

“我們的目標是研究超導性，”狄龍·王繼續說道，“但是當我們製作這些樣品時，我們沒有達到理想的角度。”

這個錯誤產生了一個具有週期性的莫爾紋圖案，比實驗學家打算創造的要長，但結果證明正是觀察霍夫施塔特光譜所需要的。

亞茲達尼說：“光譜具有特定的磁場依賴性，這隻能在實驗室中實現的條件下進行驗證，當電子以具有長週期的完美週期勢運動時，這在這些偶然製造的樣品中實現了。”

掃描隧道顯微鏡：近距離觀察

該團隊使用掃描隧道顯微鏡以原子解析度對莫爾晶體進行成像，並檢查它們的電子能級。這種顯微鏡的工作原理是將一個距離表面不到一納米的尖銳金屬尖端，允許電子從尖端到樣品的量子“隧穿”。當使用STM來研究他們的樣品時，由此產生的電子行為表明瞭一種研究人員所認識到的模式，最初不是霍夫施塔特的蝴蝶，而是獨一無二的。然而，很快，當他們更詳細地分析這個模式時，他們意識到他們正在注視著霍夫施塔特近50年前假設的模式。

“有時候大自然對你很仁慈，”努科爾斯說。“有時候，如果你停下來觀察，大自然會給你一些非凡的東西。”

STM對這個實驗尤其重要，因為這個工具對材料中的電子能量特別敏感。該論文的共同第一作者、博士後研究員吳明哲（Myungchul Oh）表示：“STM是一種直接的能量探測器，它有助於我們將霍夫施塔特的原始計算與能量水準的計算聯繫起來。”“以前對霍夫施塔特蝴蝶的研究是基於電阻測量，而不是測量能量。”

電子相互作用的新見解

雖然這項研究可能不會產生任何實際應用，至少不會立即產生，但這項工作揭示了霍夫施塔特光譜的特徵，這些特徵對基礎物理研究很感興趣。研究人員發現，如果包括與電子相互作用有關的現象，光譜的理論模型就會得到改進，這是霍夫施塔特最初計算中遺漏的一個重要特徵。包括這種相互作用的影響是困難的，實驗在理解這個問題的多電子版本中變得特別有價值。實驗團隊與物理系Biao Lian教授及其學生領導的理論團隊密切合作，他們也是該論文的合著者。

普林斯頓大學物理學研究生、該論文的共同主要作者之一邁克爾·希爾（Michael Scheer）說：“霍夫施塔特體系是一個豐富而充滿活力的拓撲態光譜，我認為能夠對這些態進行成像可能是理解其量子特性的一種非常有力的方法。”