幾何拓撲學探索宇宙形狀，從二維球面到四維時空，甚至高維機器人運動，繩結研究或解鎖答案。

抬頭看看四周，你可能會覺得腳下是個平坦的世界。畢竟，拿張地圖就能逛遍陌生城市，紙是平的，路也好懂。這大概就是為什麼古人一度相信地球是塊平板。可如今，大多數人都明白，事實遠非如此。你其實住在一個巨大的球面上，就像個地球大小的海灘球，表面還有些坑坑窪窪。這球面是個二維空間，你可以朝南北或東西走。

那還能住在什麼別的空間裡呢？比如，一個巨型甜甜圈的表面，也是個二維空間。數學家們通過幾何拓撲學，研究所有可能的維度和空間。不管是設計感測器網路、挖掘數據，還是用摺紙技術發射衛星，核心思路都離不開拓撲學。

放眼宇宙，看起來是個三維空間，就像地球表面看起來是二維的。可要是把整個宇宙攤開來看，它可能比三維海灘球複雜得多，甚至更奇特。確定地球是個球體不需要拓撲學，但要搞清所有二維空間的可能性，這門學科就派上用場了。早在百年前，數學家們就摸透了所有二維空間的模樣和特點。近幾十年，他們又往前邁了一大步，對三維空間瞭解了不少。雖然還沒像二維那樣徹底弄明白，但已經足夠讓物理學家和天文學家試著推測我們到底住在怎樣的三維空間裡。

答案還沒完全揭曉，但可能性多得讓人興奮。如果把時間算作一維，事情就更複雜了。想描述一顆彗星的位置，得用四個數位：三個定空間位置，一個定時間。這四個數字湊成了四維空間。於是，你可以開始想像，哪些四維空間是可能的，而你又住在哪一個里。

說到這兒，有人可能覺得，四維已經是極限了，幹嘛還要考慮更高的維度？可弦理論卻說，宇宙可能有遠超四維的空間。現實中，高維也有用武之地。比如，想像三個機器人在倉庫地板上跑來跑去。你在地上畫個網格，用x和y座標標記每個機器人的位置。三個機器人就需要六個數位來描述所有可能的站位，這就成了個六維空間。機器人多了，維度更高，再加上障礙物的位置，空間就更複雜了。要研究這個，得鑽進高維空間的世界。

繩結是位於其他空間內部的空間的示例

繩結是拓撲學里的另一塊寶地。拿根打結的繩子舉起來，這是個一維空間(繩子本身)嵌在三維空間(你的房間)里。這種“數學結”最早從物理學里冒出來，現在成了拓撲學的核心。它們幫科學家理解三維、四維空間，結構奇妙又微妙，研究者們還在努力破解。比如，繩結在弦理論、DNA重組、化學中的手性都有大用場。

再想想工廠裡的機器人。它們的運動軌跡可以用高維空間描述，就像行星和飛船的運行，或者大數據的“形狀”。拓撲學無處不在，幫我們解開這些難題。宇宙到底什麼形狀？可能是球，也可能是甜甜圈，甚至更怪。幾何拓撲學美妙又深奧，像四維龐加萊猜想這樣的問題，探索最簡單的封閉四維空間是什麼；還有切片-絲帶猜想，想弄清三維繩結和四維表面的關係。

這些謎題不光好玩，還實用。解開更多空間的秘密，能讓我們更懂自己生活的世界，也能解決實際問題。你住的“形狀”是什麼？答案也許就藏在這些奇妙的數學里。

本文譯自 ScienceAlert，由 BALI 編輯發佈。